Présentation:

• L’activité

DES NOMBRES MANQUANTS

Les fractions sont étudiées en cycle 3. La définition « La fraction ^a/_b est le nombre qui, multiplié par b donne a » est plus spécifique du programme de 6^ème et est donc nouvelle pour les élèves.

L’activité présentée ici permet, à partir des connaissances des élèves, de donner du sens à cette notion nouvelle pour eux.

De plus, elle permet de mettre à jour des conceptions sur les nombres décimaux qui peuvent être un obstacle à l’apprentissage.

• Place dans la progression

Les élèves auront déjà rencontré la multiplication de deux décimaux introduite seulement en sixième. Certains élèves peuvent connaître la technique, sans que cela ait du sens pour eux.

• Les références

L’activité est tirée du MAGNARD 6^ème, édition 2005.

Il va s’agir pour les élèves de compléter des égalités « à trou ».

• L’organisation du travail

La séance débute en recherche individuelle de la première question 1, avec une première production (relevée) pour que les élèves s’approprient le problème ; puis par un travail par groupes de 4 avec la même consigne et une production par groupe.

L’enseignant n’intervient que pour éventuellement expliquer la consigne.

L’institutionnalisation sera faite par le professeur qui proposera les fractions comme réponses aux questions.

Remarque :

L’usage de la calculatrice est autorisé, mais il est important de vérifier que le mode choisi donne la réponse à une division par la valeur décimale et non par une fraction comme le font certaines calculatrices récentes.

Points de programme abordés.

En cycle 3 et en sixième, la fraction n’est pas envisagée de la même manière ; le sens s’élargit.

Par exemple, le nombre ⁷/₃ qui était le produit de 7 par un tiers,  partage de un en trois parties égales, devient le tiers de 7 donc quotient qu’on peut approcher par une valeur décimale.

Un élève arrivant en sixième ne sait pas que ³/₄ est égal à 0,75.

Documents

• Les documents pour les élèves

Voici l’extrait tiré du manuel Magnard 6^ème édition 2005.

• Le document professeur

Analyse a priori (tirée du manuel du professeur)

Objectif : l’objectif est d’introduire l’écriture ^a/_b comme quotient de l’entier a par l’entier b.

Gestion et réponses :

1) Dans un premier temps les élèves, par manipulations, essais, calculs trouveront des réponses : 5 × 1,2 = 6 et 4 ×4,25 = 17 et 6 ×1,5 = 9.

2) A partir des deux égalités, 6 × … = 5 et 3 × … = 7, le professeur proposera les écritures ⁵/₆ et ⁷/₃ comme réponses, les lectures « le sixième de 5 » et «  le tiers de 7 ». On pourra considérer ces écritures comme quotients de deux entiers.

La synthèse permettra aussi d’écrire :⁶/₅ = 1,2 et ¹⁷/₄ = 4,25 et ⁹/₃= 3 et ⁹/₆= 1,5.

Et de donner des valeurs approchées de ⁵/₆ , par exemple 0,83 et des valeurs approchées de ⁷/₃, par exemple 2,3 ou 2,33.

Cette activité a été présentée dans une classe de sixième.

Voici quelques réactions : 

- ( ),

- pour 6 × … = 5 « on ne peut pas trouver un nombre plus petit en multipliant », d’autres n’ont pas pensé à diviser mais ont vu qu’il fallait un nombre inférieur à 1 et ont fait beaucoup d’essais,

- pour 3 × … = 7 ; ils ont mis du temps à trouver un nombre décimal compris entre 2,33 et 2,34 pour approcher le nombre

Extraits des programmes officiels

Connaissance des fractions et des nombres décimaux. Au cycle 3, une toute première approche des fractions est entreprise, dans le but d’aider à la compréhension des nombres décimaux. L’étude des fractions et des nombres décimaux sera poursuivie au collège. Il convient donc de distinguer les compétences qui doivent être maîtrisées avant l’entrée au collège, de celles qui sont encore en cours de construction à la fin du cycle 3 et de celles dont l’approche et la construction relèvent du collège. Les fractions et les nombres décimaux doivent d’abord apparaître comme de nouveaux nombres, utiles pour résoudre des problèmes que les nombres entiers ne permettent pas de résoudre de façon satisfaisante.
Fractions	- Utiliser, dans des cas simples, des fractions ou sommes d'entiers et de fractions pour coder le résultat de mesurages de longueurs ou d'aires, une unité de mesure étant choisie explicitement. En dehors de la connaissance des fractions d’« usage courant », le travail sur les fractions est essentiellement destiné à donner du sens aux nombres décimaux envisagés comme fractions décimales ou sommes de fractions décimales. Outre les fractions décimales, les fractions utilisées ont un dénominateur compris entre 2 et 5 (ou des puissances de ces nombres comme 4, 8, 16, 9, 25…). Des fractions supérieures à 1 sont utilisées. 7/3 est le produit 7 x 1/3. Le vocabulaire "dénominateur" et "numérateur" n'est pas exigible. - Encadrer une fraction simple par deux entiers consécutifs. - Ecrire une fraction comme la somme d'un entier et d'une fraction inférieure à 1. On peut comparer deux fractions de même dénominateur en s'appuyant sur leur signification. On peut conclure à l’égalité de deux fractions en s'appuyant sur leur signification.	- Placer le quotient de deux entiers sur une droite graduée dans des cas simples. - Interpréter a/b comme quotient de l'entier a par l'entier b, c'est-à-dire comme le nombre qui multiplié par b donne a. Les activités en sixième s'articulent sur trois idées fondamentales: - le quotient a/b est un nombre - le produit de a/b par b est égal à a ; - le nombre a/b peut être approché par un décimal. Par exemple, 7/3 est un nombre que l'on pourra envisager comme - 7 fois un tiers, - le tiers de 7 ou le nombre qui multiplié par 3 est égal à 7 ; - un nombre dont une valeur approchée est 2,33. Le vocabulaire relatif aux écritures fractionnaires est utilisé : numérateur, dénominateur. La comparaison des nombres en écriture fractionnaire relève du collège (à partir de la 5e). -Reconnaître dans des cas simples que deux écritures fractionnaires différentes sont celles d'un même nombre (multiplication du numérateur et du dénominateur par un même nombre non nul).