UN
PHENOMENE NUMERIQUE
EN CYCLE III ET EN COLLEGE
Une
propriété étonnante des nombres que les élèves découvrent
progressivement et qui conduit, au fil de la recherche, à mobiliser
vocabulaire, stratégies et compétences opératoires.
Les
séances prennent appui sur la pratique du calcul sous différentes
formes, souvent utilisées en interaction : calcul mental, calcul posé
ou calcul instrumenté.
Sans
oublier que, dans l’action, les règles de la numération et
certaines techniques opératoires sont aussi réactivées et consolidées,
en tant
qu’outils pour résoudre un problème.
Le
contenu de cette séquence s’articule autour de l’idée de « faire
découvrir » aux élèves des phénomènes numériques, sans chercher
obligatoirement à les « démontrer ».
– Placer les élèves dans des situations de recherche motivantes, en permettant un démarrage possible pour tous, donc ne reposer que sur des consignes simples et n’exiger, au départ, que des connaissances solidement acquises par tous.
– Développer le réflexe de savoir se poser des questions, et de les exprimer.
– Créer rapidement une situation assez riche pour provoquer des conjectures, qui participent à la construction d’une démarche scientifique, avec ses diverses étapes : tester, conjecturer, prouver.
– Consolider les acquis de numération et de notion d’ordre sur les nombres.
– Réactiver les trois formes de calcul : mental, écrit, instrumenté, et améliorer dans l’action, le sens des opérations rencontrées.
Ce
ne sont ni des activités préparatoires, ni des activités
d’apprentissages de cours, ni des activités d’applications, mais plutôt
des
activités de recherche, d’observations et d’analyse de phénomènes.
Cette
séquence a nécessité trois séances en 6ème et quatre
séances en CE2. Le descriptif proposé ci-dessous, est le compte rendu
de la
séquence en CE2, mais le scénario a été sensiblement le même sur les
deux
niveaux.
Les
activités, ont été menées dans deux classes, 29 élèves de 6ème
et 28 élèves de CE2.
Les
séances, se situent après l’étude des premières opérations, en
alternance avec des activités de constructions géométriques.
Les
deux enseignantes ( le professeur des
écoles, chargée de la classe de CE2, et le professeur de
mathématiques,
enseignant au collège en 6ème) , ont co-animé les séances en
CE2.
Les
élèves sont placés dans la classe, par groupes de quatre à six,
autour de tables rapprochées.
L’activité
est présentée collectivement par les enseignantes.
Chaque
élève peut
utiliser une calculatrice, il dispose de feuilles ou de son cahier
d’exercices
pour écrire ses procédures de calcul et ses résultats.
SEQUENCE DE CALCUL en classe de CE2 et
en classe de
6ème
dans le cadre d’une liaison école / collège
- Anick BERNARDINI : Professeur des écoles, chargée de la classe de CE2.
- Liliane DRAY : Professeur de mathématiques, enseignant au collège en 6ème.
- Lundi 16 – 23 – 30 janvier 2006 ( 3 séances de 45 minutes environ )
- Vendredi 17 février 2006 (4ème séance, en présence de Mme Claudine RUGET Inspectrice Générale de Mathématiques )
- Placer les élèves dans des situations de recherche motivantes.
- Développer le réflexe de savoir se poser des questions, et de les exprimer.
- Participer à la construction d’une démarche scientifique, c'est à dire : tester, conjecturer, prouver.
- Consolider les acquis de numération et de notion d’ordre sur les nombres.
- Réactiver les trois formes de calcul : mental, écrit, instrumenté.
Depuis plusieurs années, des enseignants de Primaire et de Collège collaborent à un projet européen COMENUS , dans le cadre d’une liaison premier et second degré.
L’activité, qui est présentée ici, a été menée dans deux classes, 29 élèves de 6ème et 28 élèves de CE2, elle a nécessité trois séances en 6ème et quatre séances en CE2. Les deux enseignantes ont co-animé les séances en CE2. Le descriptif qui suit est le compte rendu de la séquence en CE2, et le scénario a été sensiblement le même sur les deux niveaux.
L’activité est présentée collectivement par les enseignantes.
Les élèves sont placés dans la classe, par groupes de quatre à six, autour de petites tables rapprochées.
Chaque élève peut utiliser une calculatrice, il dispose de feuilles ou de son cahier d’exercices pour écrire ses procédures de calcul et ses résultats.
Les documents d’accompagnement des nouveaux programmes de primaire, applicables depuis la rentrée 2002, fournissent des pistes en cycle 2 et en cycle 3, pour l’utilisation des calculatrices dans quatre directions :
– comme outil de calcul
– comme instrument dont on cherche à comprendre certaines fonctionnalités
– comme support à l’exploration de phénomènes numériques
– comme source de problèmes et d’exercices.
L’usage de la machine, en tant qu’outil d’investigation, permet une exploration plus rapide, plus variée, plus vaste, de l’ensemble des nombres, de leurs relations et des opérations. Et dans cette activité, la calculatrice peut dispenser pour un temps l’élève de l’effort du calcul effectif, mental ou posé. Cela facilite ainsi l’étude de phénomènes numériques, en générant des résultats plus rapidement.
Une des finalités de cette séquence est donc de faire « découvrir » aux élèves des phénomènes numériques, sans chercher obligatoirement à les « démontrer ». Sans oublier que, dans l’action, les règles de la numération et certaines techniques opératoires seront aussi réactivées et consolidées, en tant qu’outils pour résoudre un problème.
– Choisis un nombre de quatre chiffres ;
– Range les quatre chiffres du plus grand au plus petit ;
– Range les quatre chiffres de ce nombre du plus petit au plus grand ;
– Calcule la différence des deux nombres ainsi obtenus.
Afin de vérifier la bonne compréhension de chacun, des élèves reformulent les consignes, et un exemple proposé collectivement est noté au tableau :
– Tu prends un nombre au hasard, un élève propose : 3748.
– Tu ranges les chiffres de ce nombre du plus grand au plus petit : 8743.
– Dessous, tu ranges les chiffres du plus petit au plus grand : 3478.
– Ce qui donne au tableau : 3748 et 8743
et
tu calcules :
8743
– 3478
5265
– La différence est égale à 5265.
Les enseignantes amènent les élèves à redéfinir ce qu’est un rangement de nombres par ordre croissant, par ordre décroissant, et à rappeler le vocabulaire associé à des opérations, par exemple, la somme pour l’addition, la différence pour la soustraction…
Sur la feuille distribuée à chacun, les élèves, choisissent le nombre qu’ils veulent à quatre chiffres, exécutent les consignes, mettent les quatre chiffres par ordre décroissant, puis mettent ces mêmes quatre chiffres par ordre croissant, et font la différence des deux nombres ainsi obtenus.
Les enseignantes ne cherchent pas à attirer l’attention des élèves sur l’existence éventuelle de cas particuliers, pour le choix du nombre du départ, comme l’égalité de certains (ou de tous les) chiffres du nombre choisi ; cependant, si la situation était crée par des questions d’élèves, il est possible de prendre comme décision de ne pas restreindre la recherche par des conditions limitant les champs d’investigation ( par exemple, quatre chiffres identiques arrêtent tout de suite la recherche ).
Lorsqu’ils ont terminé, une 2ème consigne est donnée aux élèves :
« Tu recommences ce que tu viens de faire, mais cette fois à partir du résultat de ta soustraction. »
Dés que la différence est obtenue, les élèves recommencent toutes les étapes de la consigne, à partir du résultat trouvé.
Les différentes opérations sont écrites sur les feuilles ou sur les cahiers, et puisque le but principal n’est pas ici de tester des techniques opératoires et afin de mieux gérer le temps de calcul, les enfants sont autorisés à utiliser la calculette s’ils le désirent. Certains élèves ont décidé d’effectuer leurs calculs en posant les soustractions et il leur arrive même d’aller aussi vite que les binômes qui travaillent à la machine, ce qui peut créer ainsi des situations « naturelles » de contrôle mutuel des résultats.
Au bout d’un moment, certains élèves disent :
« le résultat s’est doublé »
« on retrouve le même résultat »
Une enseignante propose alors que chaque parole exprimée par un élève, soit relevée, et mise par écrit par un responsable du groupe où se trouve l’élève qui a parlé, et avec un numéro d’ordre.
On demande ensuite si plusieurs élèves arrivent à la même conclusion.
L’objectif de ces échanges est d’amener les élèves à prendre conscience de la nécessité de donner des informations précises.
Après diverses expérimentations, la classe devrait pouvoir émettre une conjecture :
à Beaucoup d’élèves arrivent toujours au même nombre ! Ils trouvent 6174 !
Il est possible dans cette phase de communication, que certains élèves reviennent sur le problème des conditions de choix des chiffres composant le nombre du départ, (choix pour lequel toute liberté avait été laissée) au cas où des nombres particuliers seraient choisis, comme par exemple : 4444 – 4445 – 4455 – 4435
Il pourrait être intéressant à présent, de savoir combien d’opérations ont été nécessaires pour arriver à ce résultat.
Afin de mieux visualiser, on note tout cela sous forme de tableau (au tableau).
|
Elève |
Nombre choisi |
Nombre de soustractions |
|
Margaux |
4897 |
9 |
|
Elliot |
8429 |
7 |
|
Juliette |
4565 |
5 |
|
Elyès |
3574 |
7 |
|
Agathe |
3214 |
4 |
|
Tiphaine |
1987 |
8 |
|
Arthur |
1435 |
4 |
|
Thomas |
9888 |
9 |
|
Lola |
8593 |
4 |
« Dans ce tableau, plusieurs élèves ont trouvé 6174 au bout de quatre soustractions, peut-on remarquer quelque chose, sur les nombres choisis au départ par ces élèves ? »
Élèves : « Dans le résultat de Lola et d’Agathe, je vois qu’il y a un 3 dans chaque nombre de départ ».
On recherche une vérification de cette hypothèse en regardant le résultat d’un autre élève qui avait trouvé au bout de quatre soustractions.
Arthur : « Oui il y a un 3 »
Une enseignante demande : - « Est-ce que ce sera aussi valable pour les autres élèves ? »
Margaux : « Non car Thomas, Elliot, Tiphaine et moi, on n’avait pas choisi de nombres avec un 3 ».
La classe accepte : « Alors, on ne va pas retenir cette idée ».
[Dans
cette phase de
débat, les arguments ont été réfutés à l’aide de contre-exemples]
Pour se rappeler de ce qui a déjà été fait, un représentant de chaque groupe, va dire une phrase, qui reconstitue chronologiquement le puzzle des actions réalisées dans la séance précédente.
[Dans la première séance, un enfant par groupe était chargé d’écrire la parole de son groupe]
1) - « On a inventé un nombre à quatre chiffres »
2) - « Il faut mettre les nombres en ordre du plus grand au plus petit »
L’enseignante : «Mais comment appelle-t-on le fait de mettre en ordre les nombres ? »
3) - « On a rangé les nombres »
4) - « On a écrit des nombres et on a fait des opérations avec les nombres »
5) - « C’était des soustractions »
6) - « On a recommencé la même consigne »
7) - « A la fin, on a trouvé un nombre, c’était presque toujours le même : 6174 »
L’enseignante : - « Comment appelle-t-on le résultat d’une soustraction ? »
« C’est la différence………… et ici elle est égale à 6174. »
8) - « On a tous fait plusieurs soustractions et au bout d’un moment, presque toute la classe a trouvé la même différence : 6174 »
Les enseignantes : «Tout le monde a-t-il trouvé 6174 ? Non ? Apparemment il reste 11 élèves qui ne sont pas arrivés à ce résultat. On va essayer de trouver pourquoi en reprenant la situation de Dimitri. Ce que nos allons faire : je vais faire l’exercice au tableau et vous, vous le faites sur vos feuilles ».
Dimitri a choisi : 1931.
|
9311 |
|
8721 |
|
7443 |
|
9963 |
|
6642 |
|
7641 |
| – 1139 |
|
– 1278 |
|
– 3447 |
|
– 3699 |
|
– 2466 |
|
– 1467 |
|
8172 |
|
7443 |
|
3996 |
|
6264 |
|
4176 |
|
6174 |
Donc on s’aperçoit que dans ce cas, il s’agit en fait « d’une erreur de calcul ».
Regardez votre feuille et voyons s’il y a d’autres raisons pour lesquelles ces élèves ne sont pas arrivés au résultat. On constate qu’il peut aussi s’agir d’une « erreur de positionnement dans le rangement des 4 chiffres ». On admettra que pour les autres, les raisons sont les mêmes ».
Alors revenons au cas de Dimitri qui est encore au tableau : « Combien de soustractions ont été nécessaires pour arriver à 6174 ? » : « Pour Dimitri c’est 6 »
« Et les autres élèves ? »
7 : Elliot (8429)
9 : Margaux (4897)
8 : Florian (1269)
On regarde le cas des élèves qui ont trouvé plus de 7 opérations. On reprend quelques cas en s’aidant de la calculette et on s’aperçoit qu’à nouveau, il s’agit soit « d’erreurs de calcul » soit « d’erreurs de positionnement dans le rangement des 4 chiffres ». La classe s’accorde donc pour dire : il semble que le nombre maximum soit de 7 soustractions pour arriver au résultat 6174.
Si les élèves du primaire entrent avec intérêt, dans des nouvelles pratiques pédagogiques, ils s'essoufflent plus vite, que ceux de collège ou de lycée, et, pour eux, un temps de relance collective s'avère parfois nécessaire, pour dynamiser la recherche, en mutualisant les idées.
« Que
remarquez-vous à propos des chiffres qui
sont dans les résultats des six soustractions de Dimitri ? »
Agathe : - « Je remarque qu’il a fait une faute dans la feuille de Dimitri ».
Tiphaine : - « Dans 2 soustractions, il y a les mêmes nombres ».
Benjamin :
- « Les résultats des deux dernières
soustractions utilisent les mêmes chiffres :
1 – 4 – 6 – 7 »
« Puisqu’ils
utilisent les mêmes
chiffres, est-ce que ce sont les mêmes nombres ? »
Arthur : - « Non parce que les chiffres ne sont pas à la même place ».
« Est-ce que vous avez remarqué quelque chose d’autre ? »
Jenessy : - « 2 chiffres ont l’air d’être à côté dans 2 résultats ».
« Puisqu’on ne trouve cela que dans deux résultats seulement, est ce que c’est une remarque que l’on peut retenir ? »
« Non, parce que pour retenir une règle, il faut qu’elle « marche » à tous les coups. »
Florian : - « Dans presque tous les résultats, on remarque qu’il y a toujours soit un 6 soit un 7 ».
Alabama : - « On a l’impression que, une fois le résultat monte, une fois le résultat descend. »
Après vérification de ces deux hypothèses, on s’aperçoit qu’elle n’est pas valable chaque fois. Donc maintenant, on cherche quelque chose qui marche pour tous les résultats.
Puisque les élèves n’ont pas trouvé, on leur propose de faire un peu de calcul mental. On va additionner dans sa tête les chiffres de toutes ces différences obtenues.
|
1ère opération |
|
2ème opération |
|
3ème opération |
|
8+1+7+2 = 18 |
|
7+4+4+3 = 18 |
|
3+9+9+6 = 27 |
|
|
|
|
|
|
|
4ème opération |
|
5ème opération |
|
6ème opération |
|
6+2+6+4 = 18 |
|
4+1+7+6 = 18 |
|
6+1+7+4 = 18 |
On demande alors à la classe: - « Que peut-on dire sur ces nombres 18 et 27 ? »
Valentin – : « C’est dans la table de multiplication par 9 ».
Les enseignantes précisent : - « Oui, c’est 9 ´ 2 = 18 et 9 ´ 3 = 27 ». Alors, on reprend sur sa feuille ses propres résultats, et on cherche combien on trouve en additionnant les chiffres des différences.
«Pendant que vous calculez, annonce une enseignante, je reprends au tableau le cas de Florian qui a trouvé 8 opérations »
|
9621 |
|
8532 |
|
donc c’était pas 8 soustractions qui étaient nécessaires mais 2 opérations |
|
– 1269 |
|
– 2358 |
|
C’était donc bien « une erreur de calcul ». |
|
8352 |
|
6174 |
|
|
« Lorsque vous aurez fait tous vos calculs, vous vous arrêterez, et à la prochaine séance, on comparera vos résultats ».
Pour pouvoir se souvenir des séances précédentes, on repart du nombre choisi par Tiphaine :1987.
|
9871 |
|
8820 |
|
8532 |
|
|
– 1789 |
|
– 0288 |
|
– 2358 |
3 soustractions |
|
8082 |
|
8532 |
|
6174 |
|
A la fin de la séance précédente, on avait vu que, quand on additionne tous les chiffres, on trouve soit 18 soit 27. Voyons si cela est vrai pour les soustractions de Tiphaine.
|
1ère opération |
|
2ème opération |
|
3ème opération |
|
8+0+8+2 = 18 |
|
8+5+3+2= 18 |
|
6+1+7+4 = 18 |
Donc l’hypothèse semble vraie.
On va travailler ensemble sur les soustractions de Tom qui avait choisi le nombre : 7536
|
7653 |
|
8640 |
|
8721 |
|
7443 |
|
– 3567 |
|
– 0468 |
|
– 1278 |
|
– 3447 |
|
4086 |
|
8172 |
|
7443 |
|
3996 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9963 |
|
6642 |
|
7641 |
|
|
|
– 3699 |
|
– 2466 |
|
– 4167 |
7 soustractions |
|
|
6264 |
|
4176 |
|
6174 |
|
|
On arrive à une même conclusion, quelques soient les résultats,
Quand on choisit n’importe quel nombre à 4 chiffres, on arrive toujours à 6174 et quand on additionne les chiffres des différences obtenues, on trouve soit 18 soit 27.
« Mais ça c’est avec le nombre à 4 chiffres, est-ce vous pensez que ce phénomène se renouvellera avec un nombre à 3 chiffres ? »
Nouveau questionnement :
« On choisit un nombre à 3 chiffres et on applique la même consigne : que va-t-il se passer ? »
[On rappelle qu’avec 4 chiffres, les élèves n’ont pas pu dépasser 7 soustractions.]
Les élèves choisissent leur nombre et calculent, beaucoup posent par écrit sur leurs feuilles, leurs soustractions à la verticale, et d’autres utilisent la calculatrice.
[Petite
remarque : on a vu à la séance précédente que lorsqu’un élève
choisit 4
chiffres
identiques, sa recherche s’arrête. Donc, là, on ne va pas prendre 3
chiffres
identiques.]
Tom : - « la première fois, on a trouvé : 6174 ».
Claire : - « maintenant, on trouve : 495 »
Peu à peu la classe arrive au résultat : 495 !!!
« Combien de soustractions avez-vous eu besoin de faire ? Y a-t-il comme tout à l’heure, un nombre maximum de soustractions que l’on va pouvoir faire avec 3 chiffres ? »
Arthur : - « 5 »
« Et si vous ajoutez tous les chiffres de chaque différence combien trouvez-vous? »
Les élèves annoncent « On a trouvé soit 9, soit 18 ».
Le scénario des actions réalisées dans les précédentes séances est restitué pour notre invitée d’aujourd’hui, qui est venue nous voir travailler.
On reprend des exemples d’élèves au tableau. « On arrive toujours sur le même nombre 495 ! »
On repart sur les mêmes consignes, mais à présent avec des nombres de deux chiffres ….
« Que va-t-il se passer, si on prend cette fois, un nombre à 2 chiffres au lieu de 3 ? ».
Avez-vous une idée sur ce qui va se passer ?
Certains élèves ont envie d’anticiper et de conjecturer sur l’hypothèse : « C’est sûr, on va tomber toujours sur le même nombre ! »
- Les débats sont passionnants, car le phénomène observé, n’est pas celui que la classe prévoyait.
- Les élèves enthousiasmés, se lèvent les uns après les autres, pour venir montrer leurs feuilles et leurs calculs aux enseignantes présentes.
- Les élèves trouvent tour à tour, après un certain nombre de soustractions, toujours les nombres pour les résultats des soustractions : 63 27 81 45 18 90 36 09 54 ………
- « Ils sont dans la table de multiplication de 9 ! »
« Oui, mais dans le désordre ! »
- Et commence à apparaître dans les paroles des élèves : « on retrouve un résultat qu’on a déjà écrit sur la feuille ! »
- Peu à peu, après un certain nombre de soustractions, tous les élèves retombent, sur une des différences déjà obtenues sur leur feuille et collectivement, on arrive alors à l’idée de cycle !
Certains élèves comptent même le nombre de soustractions qu’il y a entre ces deux résultats identiques et annoncent « Il y en a toujours 6 ! »
- On revient sur les précédentes observations sur la somme des chiffres des différences obtenues par tous les élèves. « La somme des chiffres des différences est toujours égale à 9 ! »
L'observation de ces séances de travail nous amène à penser, que les élèves de primaire, entrent avec beaucoup d'enthousiasme dans de nouvelles pratiques pédagogiques, et le font de façon encore plus spontanée que ceux de collège ou de lycée. Le changement de contrat ne les dérange pas, car ils ne disposent pas encore d'image pré-établie de ce que peut être une séance de mathématiques.
Alors que certains élèves de collège, ou de lycée, se sentent plus à l'aise avec des questions cadrées qu'ils cherchent à résoudre, en suivant des cheminements " standards", les élèves de l'école primaire cherchent volontiers à partir de consignes relativement ouvertes et c'est justement ce que proposent ces formes de séances, qui laissent les élèves libres de suivre des pistes de recherche personnelles et variées.
Les élèves ont été très actifs pendant ces séances, ils se sont retrouvés dans la position d’un chercheur qui, à partir de données, expérimente, doute, interroge les résultats, utilise des exemples et parfois des contre exemples, cherche à se convaincre, ou à convaincre l’autre. Ils ont pu faire des hypothèses sur des régularités qu’ils ont observées, et ils ont cherché à vérifier ces hypothèses en poursuivant un processus. Peu à peu, la classe a été convaincue qu’une règle mathématique ne peut être établie que si elle est vérifiée pour tous les cas possibles.
(Anick Bernardini – Liliane Dray - 17 / 02 / 06 )